Математика

Как работать с учебником математики.

1. Найти изучаемую тему по оглавлению.
2. Обдумать заголовок (т.е. ответить на вопросы: О чем пойдет
речь? Что мне предстоит узнать? Что я уже знаю об этом?).
3. Прочитать содержание пункта (параграфа).
4. Выделить все непонятные слова и выражения и выяснить их зна-чение (в учебнике, справочнике, у учителя, родителей, товарищей).
5. Задать по ходу чтения вопросы и ответить на них (О чем здесь говорится? Что мне уже известно об этом? Что именно об этом сообщается? Чем это можно объяснить? Как это соотносится с тем, что я уже знаю? С чем это нужно не перепутать? Что из это¬го должно получиться? Для чего это делается? К чему это можно
применить? Когда и как применять?).
6. Выделить (выписать, подчеркнуть) основные понятия.
7. Выделить основные теоремы или правила.
8. Изучить определения понятий.
9. Изучить теоремы (правила).
10. Разобрать конкретные примеры в тексте.
11. Провести самостоятельно доказательство теоремы в тетради.
12. Составить схемы, рисунки, таблицы, чертежи.
13. Запомнить материал, используя приемы запоминания (пересказ,
по плану, чертежу, схеме, мнемонические приемы, повторение
трудных мест).
14. Ответить на конкретные вопросы после текста.

               Как решать текстовые задачи с помощью уравнения.

1. Внимательно изучи условие задачи.
2. Выполни анализ задачи, для чего:
       а) усвой названия величин, содержащихся в задаче;
       б) установи связь между этими величинами;
       в) установи, какая величина является искомой.
3. Обозначь искомую величину буквой и вырази все величины, о которых говорится в задаче, через нее.
4. Найди две величины, которые по условию задачи сравниваются, составь уравнение и реши его.
5. Истолкуй полученный результат в соответствии с условием задачи.

 Как учить теорему.

1. Прочитать теорему (по учебнику, тетради).
2. Выучить формулировку теоремы.
3. Рассмотреть (если есть) чертеж, усвоить его.
4. Прочитать доказательство, обосновывая каждый этап, следя по чертежу.
5. Повторить доказательство.
6. Сделать свой чертеж.
7. Доказать его с помощью теорему самостоятельно.
8. Если нужно, проверить себя, прочитав доказательство еще раз.
9. Попробовать найти другой способ доказательства.

Как выполнять письменную домашнюю работу по математике.

1. Прочитать задание, уяснить, что от тебя требуется.
2. Продумать, какие правила и приемы следует применить для его выполнения, пользуясь, если нужно, предыдущей письменной работой, общими и частными приемами решения задач.
3. Если нужно, выполнить задание полностью или частично на черновике.
4. Проверить тем или иным способом решение.
5. Записать выполненное задание в тетрадь, соблюдая правила ведения тетради по математике.

Лайфхаки по математике

Числа и вычисления 

Сложение и вычитание

Если нет калькулятора и нужно сложить “неудобные числа” можно суммировать постепенно, прибавляя к первому числу разряды второго: 1342+321=1342+1+320=1343+20+300=1363+300=1663. Если и этого мало, то можно делить второе число на слагаемые и постепенно суммировать. Например, 135+86=135+5+1+80=140+80+1=140+60+20+1=221.

Также можно находить при вычитании, если есть проблемы с устным счетом. Например, если нужно найти сколько будет 180 – 62, то можно отметить, что 62 не хватает до “круглого числа” 8, до сотни еще 30. От сотни до 180 не хватает 80. Значит мое искомое число 8+30+80=118.

Умножение

Используя только пальцы, можно запросто умножать цифры на 9, необходимо пронумеровать пальцы на руках слева направо до 10. Зажимаете палец, соответствующий числу, на которое будете умножать. До пальца - десятки, после пальца - единицы.

Для умножения можно использовать умножение многочлена на многочлен или одночлена на многочлен, если числа «неудобные»: 15∙14 =15(10+4)=150+60=210; 83∙31=(80+3)(30+1)=2400+90+80+3=2400+90+10+70+ +3=2573

Для умножения любого числа на 9 достаточно умножить на 10, а затем вычесть из результата это же число: 48 ∙ 9 = 480 − 48 = 432 [16] Также можно умножать на 99, 999 и т.д., только умножаем уже соответственно на 100, 1000 и т.д.

Для умножения на 11 нужно умножить на 10 и прибавить еще раз это число: 434 ∙ 11 = 4340 + 434 = 4774

Для умножения на число, являющееся степенью двойки, можно постепенно один множитель умножать на 2, а второй делить. 128∙15=64∙30=32∙60=16∙120=8∙240=4∙480= =2∙960=1920

Если необходимо умножить число, в котором в каждом разряде стоит цифра 9, на некоторое однозначное число, то необходимо последнюю девятку умножить на нужное число, а затем между получившимися цифрами числа вписать все остальные девятки. Например, 99999999∙8=799999992

Возведение в степень, извлечение корня

Для того, чтобы возвести в квадрат число, которое оканчивается на 5, достаточно сделать следующее: умножить число, получившееся путем отбрасывания 5, на следующее за ним число, а затем приписать справа 25. Например 115 = 13225, где 132 - это 11∙12

Чтобы найти кубический корень из числа необходимо выучить таблицу кубов от 1 до 10, затем рассмотреть наибольший разряд искомого числа и определить между какими числами он находится. Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба. Смотрим какому числу соответствует куб, оканчивающийся на эту же цифру и приписываем его к первому числу. Например: . Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+. Так как последняя цифра в задаче — 3 (19 683), это соответствует 343 = . Следовательно, последняя цифра ответа — 7. Ответ — 27.

Если необходимо найти значение неизвлекаемого корня, то можно сделать это по формуле , где b - это ближайшее число, из которого можно извлечь корень

Проценты

Наиболее быстрый способ вычисления процентов – умножение исходного числа на заданный процент. В последствии необходимо отбросить две последние цифры в итоговом результате. Например, 5% от 80 - это 5*80=400, убираем две последние цифры и получаем 4. Метод работает и с числами, которые дают ответ не кратный сотне, если мы не отбросим две последние цифры, а отделим их запятой: 24% от 107 - это 24*107=2568, добавляем запятую и получаем 25,68.

Экономические задачи

В экономических задачах если нужно посчитать, в течение какого времени внесенный вклад вырастет вдвое, необходимо разделить 72 на процентную ставку. Например, Ваш вклад внесен под 10% годовых. Значит, Вам потребуется около 7 лет, чтобы его удвоить

Если нужно посчитать, в течение какого времени внесенный вклад вырастет втрое, то за делитель необходимо взять число 115.

Выражения и их преобразования

Если в сумме значения функций дают 90°, то можно сделать вывод, что их синус и косинус равны, как в прямоугольном треугольнике. Нужно только помнить о знаке, который оставляют сокращённые значения. Например

Если в задании просят найти значение, а не сократить некоторое выражение, но при этом не дано значение переменной, присутствующей в решении, то предполагается, что в ходе решения все переменные сократятся и можно решать, изначально отбросив все переменные, используя только числа из выражения.

Если необходимо найти значение выражения f(x)f(xa), дана также функция f(x), то можно взять любое значение x (в идеале 0, если нет на него ограничений) и просто подставить в выражение. Например: Найдите p(x)+p(6-x), если . Пусть x=0, тогда р(0)=0 и р(6)=0. Ответ: 0

Чтобы быстро найти табличные значения sin и cos () без использования окружности и прямоугольных треугольников можно записать их в таблицу, где углы будут перечислены в порядке возрастания. В каждой ячейке записываем знак дроби, в числители синуса записываем по порядку 1, 2, 3, а в числители косинуса - 3, 2, 1. К каждому числителю добавляем знак корня. В каждый знаменатель записываем 2.

Уравнения и неравенства

Если в задаче сказано, что x предметов дешевле/дороже другого предмета на некоторое количество процентов, то можно продолжать расчет в процентах, если взять за 100% тот самый объект, с которым сравнивают. Например, 10 коз дают на 20% больше молока, чем корова. На сколько процентов больше дадут молока 14 коз? Не будем выражать через переменные и составлять уравнение. Пусть корова дает 100% молока, тогда 10 коз дают 80% молока. А значит одна коза дает 8% молока, 14 коз - 8∙14=112%, что на 12% процентов больше, чем дает корова.

В текстовых задачах на скорость, если нужно найти через какое время встретятся, но неизвестно расстояние до места встречи можно считать через скорость обгона или сближения, приняв за основу, что один из объектов стоит на месте.

Если в текстовой задаче на растворы речь идет о смешении двух веществ, в которых нам известна масса каждого и процент содержащегося там раствора и просят указать каким получится процент при смеси двух растворов, то во сколько раз итоговый процент ближе к одному или второму - это то во сколько раз отличаются массы. Например, смешали 4 литра 15%-ого водного раствора с 6 литрами 25%-ого водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Так как 6 в полтора раза больше, чем 4, то ответом будет точка на отрезке 25-15, которая делит этот отрезок в отношении 3:2 (6:4). Получается отрезок состоит из 3 и 2 частей от 10. , искомый ответ можем найти как 15+6 или 25-4 

В текстовых задачах, решение которых сводится к нахождению суммы производительности каждого объекта, выраженного в дробях, быстрее будет найти НОК всех чисел, за которые каждый объект выполняет работу. Найти сколько за НОК-времени сделает каждый и выразить требуемую величину. Например, нам известно, что трое рабочих по отдельности делают упаковку деталей за 5 мин, 6 мин и 12 минут соответственно. За сколько сделают упаковку деталей, если будут работать вместе. НОК (3,8,12) = 24. За 24 мин первый рабочий сделает 4 упаковки, второй - 3 упаковки, третий - 2 упаковки. Вместе за 24 минуты они сделают 4+3+2=9 упаковок. То есть 1 упаковку они сделают за 24:9 - это 2 минуты 40 секунд.

Если в текстовой задаче решение сводится к тому, что находим сумму дробей, одинаковый знаменатель в которых делится на переменную и переменную плюс/минус какое-то число, то можно свести решение к поиску делителей знаменателя, а затем подобрать пару, разность между которыми будет равна тому числу, которое прибавили к переменной во второй дроби. Например, два автомобиля ехали из точки А в точку В 560 км. Второй ехал со скоростью на 19 больше, чем первый и прибыл к финишу на 19 минут раньше. Найдите скорость второго. Рассмотрим все делители 560. Найдем пару, в которой разница между делителями равна 19 - это 16 и 35. Дополнение: если число после знака равенства не равно числу, которое мы прибавляем к х суть метода не меняется, но необходимо выполнять проверку и подобрать пару, которая будет приводить к верному числовому равенству

Координаты и функции

Если дан график функции, содержащей знак модуля и просят найти решение подмодульного выражения, то необходимо найти на графике точку перехода от модуля, раскрывающегося положительно, к отрицательно раскрывающемуся модулю. В этой точке подмодульное выражение будет равно 0. По изображению графика можно найти значение x опустив перпендикуляр на ось Ох

Если просят найти неизвестные коэффициенты квадратного уравнения по изображению функции, то нужно помнить о том, что свободный член уравнения всегда равен точке пересечения с Oy, а также, что если ширина вашей параболы равна ширине классической параболы , то а=1, если ветви параболы направлены вверх, если вниз, то -1. Чтобы найти коэффициент b достаточно провести ось симметрии (перпендикуляр на ось Ox через центр параболы) и найти b через формулу  

Если необходимо по рисунку на координатоной плоскости найти площадь прямоугольника, из которого параболой заданной функции вырезана некоторая часть, то площадь прямоугольника, не затронутого параболой находим просто по рисунку (количество единичных отрезков по x умножнить на количество единичных отрезков по y). Площадь оставшейся после параболы части прямоугольника, в который можно вписать всю эту конструкцию будет находиться по формуле . Например: дана фцнкция третьей степени, которая является первообразной функции y=f(x) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры на рисунке 1. Всю фигуру можно обрисовать двумя прямоугольниками: 2х2 клетки и 2х3 клетки. Площадь нижнего = 4, площадь закрашенной верхней части . Сумарная площадь = 2+2=4.  

Если необходимо найти максимальное/минимальное значение функции в которой под знаком корня содержится квадратный трехчлен, то следует помнить о том, что максимальное/минимальное значение корня будет в той же точке, что и значение параболы, так как чем больше подкоренное выражение, тем больше и значение корня. Максимум/минимум будут находиться по формуле . Это правило также будет работать для всех функций, если одна из них квадратная, а вторая является монотонно возрастающей

Геометрические фигуры и их свойства

Если в задаче просят найти отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, то он будет находится по формуле, где а и b - основания трапеции.

Длины меньшего основания трапеции, средней линии и большего основания трапеции представляют из себя арифметическую прогрессию.

У равнобедренной трапеции с диагоналями, пересекающимися под прямым углом, высота трапеции равна средней линии трапеции.

Если расположить ромб в окружности таким образом, чтоб одна из его вершин лежала в центре окружности, а три другие вершины на окружности, то его острый угол всегда будет равен , а тупой - , меньшая диагональ равна радиусу окружности.

Геометрические величины

Любой параллелограмм можно разделить на 4 равновеликих треугольника, что может пригодиться в задачах о нахождении площади фигуры, составляющей часть параллелограмма, если известна его площадь. Например: нас просят найти площадь трапеции ABCЕ, если Е - это середина большей стороны параллелограмма, площадь которого равна 20. Легко заметить, что в трапецию войдут 3 из 4 треугольников, а значит площадь трапеции    

Если цилиндр и конус имеют общие основания и высоту, то объем конуса занимает треть цилиндра.

Шар, вписанный в цилиндр, занимает две трети его объема

Площадь шара = площади боковой поверхности цилиндра

Два основания цилиндра равны половине площади боковой поверхности цилиндра

Синус внешнего угла прямоугольного треугольника равен смежному внутреннему углу этого треугольника

Косинус/тангенс/котангенс внешнего угла прямоугольного треугольника равен смежному внутреннему углу с минусом этого треугольника

В прямоугольном треугольнике угол между медианой и высотой прямого угла будет равен   меньший из углов при гипотенузе

Если известна площадь всего треугольника, то площадь треугольника, образованного проведенем средней линии будет меньше в 4 раза.

Если у фигуры все величины увеличились в x раз, то площадь увеличится в  раз, а объем в  раз

Для того, чтобы найти площадь любой фигуры, нарисованной на поделенной на квадраты бумаге, можно воспользоваться формулой Пика: , где В-количество вершин квадратов, попавших во внутреннюю часть фигуры, а Г - количество вершин квадратов, которые задевает фигура, но вершины находятся за ее границами. Пример на рисунке 2, где красные точки внутри фигуры, а синие - снаружи.

Геометрические построения

Сечение куба, проходящее через середины его ребер параллельно боковому ребру, разделят куб на 8 равновеликих призм